Triángulos Semejantes
Sus ángulos son iguales
Sus lados son proporcionales
Problemas
https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQSW9QNDRXYUktQTA
domingo, 31 de enero de 2016
Actividad 1.3 Funciones Trigonométricas
https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQSW9QNDRXYUktQTA
domingo, 24 de enero de 2016
Ejercicios "Teorema de Pitágoras"
Problema realizado en clase
Archivo en AutoCad
https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQbE80a05uLTZRSFE
Problema 1
Archivo en AutoCad
https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQRGpkS0NoOFJUWHc
Problema 2
Archivo en AutoCad
https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQVnBrWDNOaGhYTDQ
Problema 3
Archivo en AutoCad
https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQdXVJQllwSmhYaHM
Problema 4
Archivo en AutoCad
https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQTXh6Qkh3clRtMEU
Problema 5
Archivo en AutoCad
domingo, 17 de enero de 2016
Puntos notables de un triángulo en AutoCad
Baricentro: es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo
Ortocentro: es el punto donde se cortan las alturas de un triángulo
Circuncentro: es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados de un triángulo
Incentro: es el punto donde se cortan las bosectrices de los ángulos de un triángulo
Puntos notables de un triángulo en AutoCaD
Espiral Dorada y Serie de Fibonacci en AutoCad
Espiral dorada
Espiral áurea construida a partir de la evolución de un rectángulo (áureo) dorado.
La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado. La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada. Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (plantas, galaxias espirales), así como en el arte.
Espiral de Fibonacci
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces llamada erróneamente serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597
La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión; adosando sucesivamente cuadrados de lado 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.
¿Cuál es la relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo?
Según el astrónomo Kepler, si vamos dividiendo números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores estos se acercan al número 1,618033… que es el número áureo.
Cada uno de los números de Fibonacci se acerca mucho a la llamada proporción áurea, proporción dorada o número de oro (aproximádamente 1.618034). Cuanto mayor es el par de números de Fibonacci, más cerca de la proporción dorada estamos.
Diferencias de la espiral dorada y la espiral Fibonacci
Si sumamos los cuadrados de cualquier serie de los números Fibonacci, van a igualar el último número Fibonacci usado en la serie por el siguiente número Fibonacci.
Esta propiedad se ve en la espiral dorada, que se encuentra desde la concha del molusco Nautilus hasta en las galaxias.
La espiral basada en la serie de Fibonacci es ligeramente diferente a la espiral perfecta generada por phi debido a las aproximaciones en la serie a phi. (1, 1, 2, 3, 5, 8 y 13 producen proporciones de 1, 2, 1.5, 1.67, 1.6 y 1.625).
La principal diferencia que puede observarse es que ambas espirales no coinciden.
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| ESPIRAL DORADA |
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| ESPIRAL DE FIBONACCI |
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| COMPARACIÓN DE AMBAS ESPIRALES Archivo AutoCad en: https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQZVRZUlVvaGdMQ0E |
domingo, 10 de enero de 2016
Rectángulo Áureo en AutoCad
El rectángulo dorado es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea, es decir, ϕ = 1.618033.
La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (III), en la “División de un segmento en media y extrema razón”. La idea es la siguiente: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas.
Para elaborarlo:
1- Traza un cuadrado ABCD de cualquier medida.
2-Localiza el punto medio M de la base AB.
3-Utiliza el compas con una abertura igual a la distancia desde el punto M hasta uno de los vértices, ya sea C o D.
4- Desde el punto C trazar un circulo con centro en el punto M, que este sera el punto P.
5- Con abertura de AP y centro en el punto D trazar un arco.
6- Donde intersectan los puntos, llamado punto Q, sera la unión del punto P y Q
El rectángulo APQD es un rectángulo áureo.
Archivo AutoCad:
https://drive.google.com/open?id=0B_POQWjp_aUQekJqNzJhX2xFZWs
Ensayo "Rectángulo Áureo"
Rectángulo Áureo, ¿realidad o subjetividad?
Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea, es decir, ϕ = 1.618033, es llamado un rectángulo áureo también conocido como número de oro o regla dorada. La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (III), en la “División de un segmento en media y extrema razón”. La idea es la siguiente: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas.
Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido como Fibonacci, nació en Pisa, Italia e hizo muchas contribuciones a las matemáticas. Es conocido por todo el mundo por la secuencia de números que lleva su nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...}. Esta secuencia se construye mediante la elección de los dos primeros números y el número siguiente se obtiene como la suma de los dos números anteriores.
La secuencia formada a partir de la relación entre los números adyacentes de la secuencia de Fibonacci converge a un valor constante de 1,6180339887..., llamado "phi", cuyo símbolo es Φ.
Este es un rectángulo muy especial, ya que los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron frecuentemente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados y les parece “atractivo” y hasta “armonioso”.
Estos rectángulos son la base para generar una curva conocida como la "espiral dorada", una espiral logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales que se encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del interés popular y mística en este asunto matemático.
La "espiral de oro" es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más de una familia más grande de curvas espirales, conocidas colectivamente como espirales logarítmicas, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran en la naturaleza, como la espiral de Arquímedes.
Inconsciente o conscientemente se diseñan infinidad de cosas y artículos que resultan tener la forma de un rectángulo áureo: vajillas, cuatros, fotografías, construcciones e incluso hasta tatuajes. Científicamente no es posible confirmar si es verdad que este rectángulo cause en nosotros un efecto para que podamos considerar “bellas” ciertas cosas.
Se dice que tal vez lo anterior se deba a que encontramos el rectángulo áureo en diversas partes de la naturaleza. Lo podemos ver en caracolas, galaxias, células, plantas, en el cuerpo humano y en muchos ejemplos más relacionados con la creación de la naturaleza. También se percibe como el número de la belleza y la armonía, ya que ha sido empleado en las obras más espectaculares realizadas por la humanidad, desde las pirámides hasta cuadros, murales, catedrales o en la música.
En mi opinión, el que el rectángulo áureo parezca causar “armonía” y que todos los objetos diseñados por ese principio sean “bellos”, me parece muy subjetivo. Según los filósofos Griegos y Romanos, el secreto de la belleza se esconde en la simetría y en una proporción "perfecta" que siguen los seres vivos y que provoca que resulten bellos y estéticamente atractivos. Pero para mí la belleza es subjetiva, lo que causa que cada quién pueda percibir diferentes cosas y tener distintas opiniones sobre si algo es carente o no de belleza. ¿En qué me baso para decir esto?, para empezar hay que definir que es belleza. La belleza está asociada a la hermosura. Se trata de una apreciación subjetiva: lo que es bello para una persona, puede no serlo para otra. Una persona puede ver alguna fotografía basada en la razón de oro e inconscientemente pensar que es bella y gustarle y simplemente otra puede pensar que es una simple fotografía sin nada especial.
Pero como ahora desde que fue descubierto y difundido el rectángulo áureo y sus “efectos”, se ha comercializado en gran medida por muchos lados y por las más grandes compañías del mundo, con el fin de que sus logos “atraigan” a más personas a consumir sus productos. Esto ha causado que la mayoría de las personas se sugestionen a tal punto que creen que todo lo que ven en relación a esta razón, es armonioso o bello.
Apple es una de las pocas empresas que no usa el nombre de la compañía en su logo. Sin embargo, el logo de Apple es uno de los más reconocidos símbolos en el mundo. El logo se dice está perfectamente balanceado, y las líneas que trazan el logo son círculos con diámetros proporcionales a la serie de Fibonacci. Y si Apple es una marca muy conocida, pienso que es por la calidad de sus productos y la versatilidad de los mismos. Si causara armonía en nosotros, la mayoría de las personas tendríamos uno sin importar el costo, simplemente por el efecto que causaría. Sin embargo, utilizamos tecnología de otras marcas.
Existe un video en internet llamado “Las proporciones de la belleza”, en el cual se relata cuáles son las medidas que debe tener un rostro para que pueda ser considerado como “bello”. Por medio de la razón de oro se construye una máscara con ciertas proporciones, que colocada sobre algunas fotografías de famosos estadounidenses, se determina si es atractivo. Uno de los resultados que arrojó este experimento es que Tom Cruise, encaja perfectamente en esta máscara de “perfección”, pero como mencione un poco más arriba en este ensayo, la belleza es subjetiva. Pregunte a tres personas si les parecía atractivo y solamente dos me contestaron que sí, por lo parece que lo que es establecido “bello” o “atractivo” solo lo es para algunas personas.
En la naturaleza se afirma que podemos ver el rectángulo áureo en la concha de los caracoles, pero tiene esa forma porque simplemente es así crecimiento. A medida que el nautilo crece, el extremo abierto de su caparazón aumenta de diámetro a una velocidad casi constante. Está forzado a curvarse alrededor del caparazón existente.
No es difícil encontrar que una de estas curvas que se trazan en el rectángulo áureo se ajusta a algún objeto particular en la naturaleza. Sin embargo, cuando una forma parece encajar, rara vez ese ajuste es exacto. Los ejemplos de la naturaleza que se encuentran en los libros e incluso en internet, suelen tener variaciones considerables del "ideal áureo". A veces, las curvas que dicen coincidir con la espiral dorada, se ajustan mejor, en realidad, por alguna otra espiral que se le añade. Un ejemplo claro de ello es el caparazón del nautilus.
Otro ejemplo muy famoso es que la proporción de oro tiene que ver los las flores de girasol. Las semillas en el girasol es un ejemplo de la observación que el botánico William Hofmeister hizo en 1868: los primordios (parte de la flor de se forman preferentemente donde haya mayor espacio disponible para ellos. También se deben formar donde queden unidos de manera eficiente al resto de la planta, y esta es la consideración geométrica. El patrón también puede ser modificado por la humedad y los nutrientes, que afectan el tamaño de las semillas en formación. El patrón rara vez sale perfectamente adaptado a la proporción áurea. Sólo las veces que se aproxima, son las que se van a ser fotografiados para los artículos sobre los números de Fibonacci.
Otro ejemplo del que se habla en donde también podemos observar la razón aurea en la cola de un pavorreal. Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral. ¿Son éstas espirales doradas o corresponden a algún otro tipo de espiral? La ecuación matemática exacta de la espiral depende de cuán lejos el pájaro decida desplegar su cola. Lo cual nos indica que no siempre podremos apreciar que se forman espirales relacionados con la razón áurea.
No es muy difícil encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o relación matemática que se desee. Por eso, algunas personas cometen el error de suponer que esto revela un principio que rige la naturaleza y como esta va a ser.
Como mencione al inicio de mi ensayo, los griegos utilizaban este rectángulo en muchas de sus construcciones, ya que lo consideraban algo especial. No fue de esperarse que esto inspirará a grandes escultores y pintores de la antigüedad y hayan adoptado esta proporción como modelo de armonía y de belleza.
Artistas y matemáticos como Lucca Pacioli, Leonardo Da Vinci o como Alberto Durero designaron a este número con nombres tan expresivos como sección áureo, razón áurea o divina proporción. Desde el Renacimiento, muchos pintores han utilizado en sus obras maestras con dimensiones relacionadas con la razón áurea.
Leonardo Da Vinci fue pintor, anatomista, arquitecto, paleontólogo, artista, botánico, científico, escritor, escultor, filósofo, ingeniero, inventor, músico, poeta y urbanista.
Da Vinci tenía la idea de que las formas de la naturaleza, incluyendo las especies animales, contenían la justa proporción de la belleza. Para Leonardo, la belleza era el efecto visual de proporciones armoniosas.
En muchas obras Da Vinci, representó la belleza de la proporción áurea sobre el cuerpo humano. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en el “Hombre de Vitruvio”. Sirvió para ilustrar el libro “La Divina Proporción” de Luca Pacioli. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
Leonardo da Vinci realiza una visión del hombre como centro del Universo al quedar plasmado en un círculo y un cuadrado. En él se realiza un estudio anatómico buscando la proporcionalidad del cuerpo humano: el ideal de belleza. También Da Vinci utilizó esta razón para pintar su tan famosa pintura “La Mona Lisa”.
Alberto Durero, aprovechó la “armonía” y “belleza” que desprende del número áureo en la composición de muchas obras, para representar a Adán y Eva.
Vincent Van Gogh percibió en los últimos momentos de su vida, la presencia obsesiva de estas espirales de áurea en toda la naturaleza, y las ilustró en el cielo de su famoso cuadro “La Noche estrellada”, y en su famoso Autorretrato de mirada penetrante y enloquecida. Los torbellinos espirales aparecen en la mayoría de sus obras durante su último días en el manicomio de Saint-Rémy, el último año antes de su suicidio. Se dice que Gogh había descubierto el secreto de la naturaleza para crear la belleza.
Todos los personajes anteriormente mencionados se tratan de pintores que han sido reconocidos por sus grandes y magnificas obras de arte realizadas, pero como todas las cosas en el mundo el arte es uno de los temas más subjetivos. Hay quienes les gusta el arte de un determinado pintor, pero al igual habrá gente que no le guste su obra.
Principalmente se conocen las obras y se hacen famosas, por la historia que hay detrás de ellas. Por ejemplo, las pinturas de Da Vinci se caracterizan por ser pinturas repletas de “misterio”. Se decía que él dejaba en todas sus pinturas algún mensaje o imagen oculta, además de que eran reconocidas sus obras por la técnica de pintura y el material utilizado.
¿Quién no conoce a Vincent Van Gogh?, el artista que se cortó una oreja y cuyas obras de arte son realmente interesantes.
Muy a pesar de que han pasado muchísimos años desde que fue descubierto el rectángulo áureo y su relación con la armonía y en la belleza, hay quienes en la actualidad (muy por aparte de los logos de las compañías) las utilizan para llevar a cabo su trabajo.
Si miramos a nuestro alrededor hay muchos ejemplos, en arquitectura, en el diseño o la fotografía.
La arquitectura contemporánea sigue utilizando la proporción aurea en diferentes estructuras. En los años 40s se desarrolló un sistema de proporciones llamado Modulor en el que la proporción de alturas estaba basada en la proporción aurea.
En la arquitectura la proporción aurea encuentra variadas e imaginativas aplicaciones, como el caso del círculo áureo, círculo dividido en dos secciones por dos radios, en el cual el cociente de la división del ángulo mayor entre el menor es igual al número de oro.
La proporción aurea en la actualidad es utilizada en las fachadas para la asignación de tamaños proporcionales en ventanas, puertas, columnas, lozas, arcos, trabes, elementos decorativos, de tal forma que se logre un conjunto visualmente “atractivo” y se mantenga la proporcionalidad con respecto a la fachada total.
Un ejemplo del uso de la proporción áurea contemporánea es La Casa de la Moneda China, en Santa Cruz de la Sierra, Bolivia. Cuyo autor es Juan Carlos Menacho Durán, tanto los radios de las circunferencias como las medidas de los rectángulos, reflejan la proporción áurea.
También, los inversionistas a menudo buscan el "santo grial", un método matemático para predecir el mercado de valores y algunos analistas del mercado de valores utilizan la serie de Fibonacci para orientar sus inversiones.
E incluso otro ejemplo actual en el cual se encuentra el rectángulo áureo, es en las tarjetas de crédito.
Hay quienes concuerdan en que el rectángulo áureo y su supuesta relación que tiene con la “belleza” y la “armonía” es falso, se trata del libro “Misconceptions about the Golden ratio” de George Markowsky.
Los números de Fibonacci y la proporción áurea han sido motivo de todo tipo de especulaciones sobre su supuesta presencia en distintas manifestaciones de la naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se suele afirmar que se puede encontrar la proporción dorada en lugares tales como el número de pétalos de las flores y en las hojas de las plantas, en las caparazones de moluscos, en la forma de ciertas galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las tarjetas de crédito. Pero desde mi punto de vista es un tema que se trata en un 100% de subjetividad.
Finalmente quiero terminar con la siguiente cita: “Ciertamente, la afirmación frecuentemente repetida de que el Partenón de Atenas está basado en la proporción áurea no es compatible con las mediciones reales. De hecho, toda la historia de los griegos y la razón de oro parece algo sin fundamento. Lo único que sabemos con certeza es que Euclides en su famoso libro de texto (escrito alrededor del 300ac) Elementos, muestra cómo calcular su valor”
Keith Devlin. Matemático.
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